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Preuve : convexité et classe C^1

Supposons que $f$ est convexe sur $I$. Soit $(x,y)\in I^{2}$ tel que $x<y$. Pour tout $h\in\left]0,1\right[$, on a :
$$\ds f(hx+(1-h)y)\leqslant hf(x)+(1-h)f(y)$$ $$\ds f(hx+(1-h)y)-f(y)\leqslant hf(x)+(1-h)f(y)-f(y)$$ $$\ds f(y+h(x-y))-f(y)\leqslant h(f(x)-f(y))$$ $$\ds \frac{f(y+h(x-y))-f(y)}{h}\leqslant\frac{h(f(x)-f(y))}{h}=f(x)-f(y)$$ Comme $x-y<0$, on a alors :
$$\ds \frac{f(y+h(x-y))-f(y)}{h(x-y)}\geqslant\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ d'où, par passage à la limite lorsque $h\to0$, on en déduit que :
$$\ds f'(y)\geqslant\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ De même, pour tout $h\in\left]0,1\right[$, on a :
$$\ds f((1-h)x+hy)\leqslant(1-h)f(x)+hf(y)$$ $$\ds f(x+h(y-x))-f(x)\leqslant h(f(y)-f(x))$$ $$\ds \frac{f(x+h(y-x))-f(x)}{h}\leqslant f(y)-f(x)$$ Comme $y-x>0$, on a alors :
$$\ds \frac{f(x+h(y-x))-f(x)}{h(y-x)}\leqslant\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$ d'où, par passage à la limite lorsque $h\to0$, on en déduit que :
$$\ds f'(x)\leqslant\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ Ainsi :
$$\ds f'(x)\leqslant\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\leqslant f'(y)$$ donc $f'$ est croissante sur $I$.
Supposons que $f'$ est croissante sur $I$. Soit $(x,y)\in I^{2}$. Soit $\lambda\in[0,1]$.
- Si $\lambda=1$, on a :
  $$\ds f(\lambda x+(1-\lambda)y)=f(x)=\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
- Si $x=y$ alors :
  $$\ds f(\lambda x+(1-\lambda)y)=f(x)=\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
- On peut donc supposer que $x<y$ et $0\leqslant\lambda<1$. Alors :
  $$\ds \forall t\in[x,y],\;\lambda x+(1-\lambda)t\leqslant t$$ Par croissance de $f'$ sur $I$, on en déduit que :
  $$\ds \forall t\in[x,y],\;f'(\lambda x+(1-\lambda)t)\leqslant f'(t)$$ Par intégration sur le segment $[x,y]$ (puisque $f'$ y est continue), on a :
  $$\ds \left[\frac{1}{1-\lambda}f(\lambda x+(1-\lambda)t)\right]_{x}^{y}\leqslant\left[f(t)\right]_{x}^{y}$$ $$\ds \frac{1}{1-\lambda}\left[f(\lambda x+(1-\lambda)y)-f(x)\right]\leqslant f(y)-f(x)$$ $$\ds f(\lambda x+(1-\lambda)y)-f(x)\leqslant(1-\lambda)f(y)-(1-\lambda)f(x)$$ $$\ds f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leqslant\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
- On en conclut que $f$ est convexe sur $I$.