Fonctions sur ouvert de R^n > | Topologie R^n | C^0 / C^1 sur ouvert de R^n | Classe C^2 sur ouvert de R^n | Dérivée seconde direct |
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Définition
Soit $\mathcal{U}$ une partie de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{U}\to\R$.
Théorème
Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathcal{U}$ à valeurs dans $\R$. Soit $\lambda\in\R$. Soit $\varphi\colon I\to\R$ où $I$ est un intervalle de $\R$ contenant $f(\mathcal{U})$.
Exemple
Justifier que $\ds f\colon(x,y)\mapsto\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ est continue sur $\R^{2}\setminus\{(0,0)\}$.
Définition
Soit $\mathcal{O}$ une partie ouverte de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$.
Remarques
Théorème
Soit $f$ et $g$ définies sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$ et à valeurs dans $\R$.
Remarque
L'existence d'un développement limité est plus contraignante que l'existence du gradient puisque dans le premier cas, on est assuré de la continuité alors que dans le second cas, on n'a aucune assurance.
Exemples