Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:continuite_classe_c1 [2015/01/06 00:00] – Alain Guichet
+++ math:2:continuite_classe_c1 [2015/01/06 19:08] – Alain Guichet
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 __**Exemples**__
-  - Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, $B$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et $c$ un réel. Pour ${}^t\!X=\begin{pmatrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{pmatrix}$, on pose :\\ $$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX+{}^t\!XB+c$$Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et préciser $\nabla f(x_{1},\dots,x_{n})$.
+  - Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, $B$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et $c$ un réel. Pour ${}^t\!X=\begin{pmatrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{pmatrix}$, on pose :\\ $$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX+{}^t\!XB+c$$
+    - Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$.
+    - Montrer que :\\ $$f(X+H)-f(X)={}^tH(2AX+B+AH)$$
+    - En déduire que :\\ $$\nabla f(x_{1},\dots,x_{n})=2AX+B$$
   - Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$.