math:2:continuite_classe_c1
Différences
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math:2:continuite_classe_c1 [2015/01/05 17:25] – Alain Guichet | math:2:continuite_classe_c1 [2016/01/12 11:37] – Alain Guichet | ||
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- | ^ **[[: | + | ^ **[[: |
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- | \begin{defi} | + | <box 100% green round | **Définition**> |
- | Soit \mathcal{U} | + | Soit $\mathcal{U}$ une partie de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{U}\to\R$. |
- | | + | |
- | . Soit f\colon\mathcal{U}\to\R | + | |
- | . | + | |
- | • Soit A | + | * Soit $A$ un point de $\mathcal{U}$. On dit que $f$ est **continue** en $A$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall\varepsilon> |
- | | + | * On dit que $f$ est **continue** sur $\mathcal{U}$ si et seulement si elle est continue en tout point $A$ de $\mathcal{U}$. |
- | . On dit que f | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | + | ||
- | • On dit que f | + | </ |
- | est continue sur \mathcal{U} | + | |
- | si et seulement si elle est continue en tout point A | + | |
- | de \mathcal{U} | + | |
- | . | + | |
- | \end{defi} | ||
- | \begin{theo} | + | <box 100% red round | **Théorème**> |
- | Soit f | + | Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathcal{U}$ à valeurs dans $\R$. Soit $\lambda\in\R$. Soit $\varphi\colon I\to\R$ où $I$ est un intervalle de $\R$ contenant |
- | | + | * Si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{U}$ alors $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ sont continues sur $\mathcal{U}$. |
- | | + | * Si $f$ est continue sur $\mathcal{U}$ et si $\varphi$ est continue sur $I$ alors $\varphi\circ f$ est continue sur $\mathcal{U}$.\\ En particulier, |
- | | + | |
- | . Soit \lambda\in\R | + | |
- | . Soit \varphi\colon I\to\R | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | . | + | |
- | • Si f | + | </ |
- | et g | + | |
- | sont continues sur \mathcal{U} | + | |
- | alors f+g | + | |
- | , \lambda f | + | |
- | et fg | + | |
- | sont continues sur \mathcal{U} | + | |
- | . | + | |
- | • Si f | ||
- | est continue sur \mathcal{U} | ||
- | et si \varphi | ||
- | est continue sur I | ||
- | alors \varphi\circ f | ||
- | est continue sur \mathcal{U} | ||
- | .En particulier, | ||
- | et g | ||
- | sont continues sur \mathcal{U} | ||
- | et si g | ||
- | ne s' | ||
- | alors \frac{1}{g} | ||
- | et \frac{f}{g} | ||
- | sont continues sur \mathcal{U} | ||
- | . | ||
- | \end{theo} | + | __**Exemple**__ |
- | + | Justifier que $\ds f\colon(x, | |
- | + | ||
- | \begin{ex} | + | |
- | + | ||
- | Justifier que f\colon(x, | + | |
- | | + | |
- | . | + | |
- | + | ||
- | \end{ex} | + | |
Ligne 84: | Ligne 35: | ||
- | \begin{defi} | + | <box 100% green round | **Définition**> |
- | Soit \mathcal{O} | + | Soit $\mathcal{O}$ une partie ouverte de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$. |
- | | + | |
- | . Soit f\colon\mathcal{O}\to\R | + | |
- | . | + | |
- | • Soit A(a_{1}, | + | * Soit $A(a_{1}, |
- | un point de \mathcal{O} | + | * Soit $i\in\llbracket1, |
- | . | + | * Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle **gradient** de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ :\\ $$\ds\nabla f(A)=\begin{pmatrix} \partial_{1}(f)(A) \\ \vdots \\ \partial_{n}(f)(A) \end{pmatrix}$$ |
+ | * On suppose que $f$ admet un gradient en $A$. On dit que $f$ admet un **développement limité à l' | ||
+ | * Lorsque $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\mathcal{O}$, on appelle **fonction dérivée partielle** de $f$ sur $\mathcal{O}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction $\partial_{i}(f)\colon A\mapsto\partial_{i}(f)(A)$. | ||
+ | * On dit que $f$ est de **classe** $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si toutes les fonctions $\partial_{i}(f)$ sont définies et continues sur $\mathcal{O}$. | ||
- | – Soit i\in\llbracket1, | + | </ |
- | . On dit que f | + | |
- | admet une dérivée partielleDérivée partielle d' | + | |
- | -ème variable au point \boldsymbol{A} | + | |
- | si et seulement si la fonction t\mapsto f(a_{1}, | + | |
- | est dérivable en a_{i} | + | |
- | (notation: \partial_{i}(f)(A) | + | |
- | ). | + | |
- | – Lorsque f | ||
- | admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point A | ||
- | , on appelle gradientGradient\nabla | ||
- | de \boldsymbol{f} | ||
- | au point \boldsymbol{A} | ||
- | le vecteur de \R^{n} | ||
- | : \nabla f(A)=\begin{pmatrix}\partial_{1}(f)(A)\\ | ||
- | \vdots\\ | ||
- | \partial_{n}(f)(A) | ||
- | \end{pmatrix} | ||
- | . | ||
- | – On suppose que f | + | __**Remarques**__ |
- | admet un gradient en A | + | |
- | . On dit que f | + | |
- | admet un développementDéveloppement limité limité à l' | + | |
- | au voisinage de \boldsymbol{A} | + | |
- | si et seulement si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée: | + | |
- | | + | |
- | + | ||
- | • Lorsque | + | * Lorsqu' |
- | admet des dérivées partielles par rapport à la i | + | |
- | | + | * Si $f$ admet une dérivée partielle |
- | , on appelle fonction dérivée partielleFonction | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | -ème variable | + | |
- | . | + | |
- | • On dit que f | ||
- | est de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^{1}} | ||
- | sur \mathcal{O} | ||
- | si et seulement si toutes les fonctions \partial_{i}(f) | ||
- | sont définies et continues sur \mathcal{O} | ||
- | . | ||
- | \end{defi} | + | <box 100% red round | **Théorème**> |
- | \begin{rems} | + | Soit $f$ et $g$ définies sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$ et à valeurs dans $\R$. |
- | • Lorsqu' | + | * Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie et dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\mathcal{U})$. Soit $i\in\llbracket1, |
- | | + | |
- | du chemin sur la surface représentative | + | |
- | | + | * Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ alors elle est continue sur $\mathcal{O}$. |
- | . | + | |
- | • Si f | + | </ |
- | admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable alors elle n'est pas nécessairement continue sur \mathcal{O} | + | |
- | . | + | |
- | • Si f | ||
- | admet une dérivée partielle par rapport à la i | ||
- | -ème variable sur \mathcal{O} | ||
- | alors elle n' | ||
- | -ème variable sur \mathcal{O} | ||
- | . | ||
- | \end{rems} | + | __**Remarque**__ |
- | + | ||
- | \begin{theo} | + | |
- | + | ||
- | Soit f | + | |
- | et g | + | |
- | définies sur un ouvert \mathcal{O} | + | |
- | de \R^{n} | + | |
- | et à valeurs dans \R | + | |
- | . | + | |
- | + | ||
- | • Soit (\lambda, | + | |
- | et \varphi | + | |
- | une fonction définie et dérivable (resp. de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | ) sur un intervalle I | + | |
- | de \R | + | |
- | qui contient f(\mathcal{U}) | + | |
- | . Soit i\in\llbracket1, | + | |
- | . Si f | + | |
- | et g | + | |
- | admettent une fonction dérivée partielle par rapport la i | + | |
- | -ème variable (resp. sont de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | ) sur \mathcal{O} | + | |
- | alors \lambda f+\mu g | + | |
- | , f\times g | + | |
- | , \frac{f}{g} | + | |
- | (dans le cas où g | + | |
- | ne s' | + | |
- | ) et \varphi\circ f | + | |
- | admettent une dérivée partielle par rapport à la i | + | |
- | -ème variable (resp. sont de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | ) sur \mathcal{O} | + | |
- | et on a: | + | |
- | | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | • Lorsqu' | + | |
- | de f | + | |
- | en un point de \mathcal{O} | + | |
- | est unique. | + | |
- | + | ||
- | • Si f | + | |
- | est de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | sur \mathcal{O} | + | |
- | alors elle admet un développement limité à l' | + | |
- | en tout point de \mathcal{O} | + | |
- | . | + | |
- | + | ||
- | • Si f | + | |
- | est de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | sur \mathcal{O} | + | |
- | alors elle est continue sur \mathcal{O} | + | |
- | . | + | |
- | + | ||
- | \end{theo} | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | \begin{rem} | + | |
L' | L' | ||
- | \end{rem} | ||
- | |||
- | \begin{exs} | ||
- | 1. Soit A | + | __**Exemples**__ |
- | une matrice symétrique de \mathcal{M}_{n}(\R) | + | |
- | , B | + | |
- | une matrice colonne de \mathcal{M}_{n, | + | |
- | et c | + | |
- | un réel. Pour \trans{X}=\begin{pmatrix}x_{1} & \dots & x_{n}\end{pmatrix} | + | |
- | , on pose: f(x_{1}, | + | |
- | . Justifier que f | + | |
- | est de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | sur \R^{n} | + | |
- | et préciser \nabla f(x_{1}, | + | |
- | . | + | |
- | 2. Montrer que la fonction (x, | + | - Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, |
- | | + | - Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. |
- | . | + | - Montrer que :\\ $$f(X+H)-f(X)={}^tH(2AX+B+AH)$$ |
+ | - En déduire que :\\ $$\nabla f(x_{1}, | ||
+ | - Montrer que la fonction | ||
- | \end{exs} | ||
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math/2/continuite_classe_c1.txt · Dernière modification : 2020/05/10 21:19 de 127.0.0.1