Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:continuite_classe_c1 [2015/01/05 17:20] – créée Alain Guichet
+++ math:2:continuite_classe_c1 [2015/01/06 19:08] – Alain Guichet
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+====== Continuité et classe C^1 sur une partie de R^n ======
+===== Continuité =====
+<box 100% green round | **Définition**>
+Soit $\mathcal{U}$ une partie de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{U}\to\R$.
+  * Soit $A$ un point de $\mathcal{U}$. On dit que $f$ est **continue** en $A$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall M\in\mathcal{U},\; AM=\|\vv{AM}\|\leqslant\alpha\;\implies\;\left|f(M)-f(A)\right|\leqslant\varepsilon$$
+  * On dit que $f$ est **continue** sur $\mathcal{U}$ si et seulement si elle est continue en tout point $A$ de $\mathcal{U}$.
+</box>
+<box 100% red round | **Théorème**>
+Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathcal{U}$ à valeurs dans $\R$. Soit $\lambda\in\R$. Soit $\varphi\colon I\to\R$ où $I$ est un intervalle de $\R$ contenant $f(\mathcal{U})$.
+  * Si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{U}$ alors $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ sont continues sur $\mathcal{U}$.
+  * Si $f$ est continue sur $\mathcal{U}$ et si $\varphi$ est continue sur $I$ alors $\varphi\circ f$ est continue sur $\mathcal{U}$.\\ En particulier, si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{U}$ et si $g$ ne s'annule pas sur $\mathcal{U}$ alors $\ds\frac{1}{g}$ et $\ds\frac{f}{g}$ sont continues sur $\mathcal{U}$.
+</box>
+__**Exemple**__
+Justifier que $\ds f\colon(x,y)\mapsto\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ est continue sur $\R^{2}\setminus\{(0,0)\}$.
+===== Classe C^1 =====
+<box 100% green round | **Définition**>
+Soit $\mathcal{O}$ une partie ouverte de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$.
+  * Soit $A(a_{1},\dots,a_{n})$ un point de $\mathcal{O}$.
+    * Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. On dit que $f$ admet une **dérivée partielle d'ordre 1** par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ si et seulement si la fonction $t\mapsto f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})$ est dérivable en $a_{i}$ (notation : $\partial_{i}(f)(A)$).
+    * Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle **gradient** de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ :\\ $$\ds\nabla f(A)=\begin{pmatrix} \partial_{1}(f)(A) \\ \vdots \\ \partial_{n}(f)(A) \end{pmatrix}$$
+    * On suppose que $f$ admet un gradient en $A$. On dit que $f$ admet un **développement limité à l'ordre 1** au voisinage de $A$ si et seulement si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée :\\ $$\ds f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{OH}\right\rangle +\|\vv{OH}\|\varepsilon\left(H\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(O)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }O$$$$\ds f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(A)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }A$$
+  * Lorsque $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\mathcal{O}$, on appelle **fonction dérivée partielle** de $f$ sur $\mathcal{O}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction $\partial_{i}(f)\colon A\mapsto\partial_{i}(f)(A)$.
+  * On dit que $f$ est de **classe** $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si toutes les fonctions $\partial_{i}(f)$ sont définies et continues sur $\mathcal{O}$.
+</box>
+__**Remarques**__
+  * Lorsqu'il existe, le réel $\partial_{i}(f)(A)$ est la pente de la tangente en $A$ du chemin sur la surface représentative de $f$ dans la direction de l'axe de coordonné numéro $i$.
+  * Si $f$ admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable alors elle n'est pas nécessairement continue sur $\mathcal{O}$.
+  * Si $f$ admet une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable sur $\mathcal{O}$ alors elle n'admet pas nécessairement de dérivée partielle par rapport à la $j$-ème variable sur $\mathcal{O}$.
+<box 100% red round | **Théorème**>
+Soit $f$ et $g$ définies sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$ et à valeurs dans $\R$.
+  * Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie et dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\mathcal{U})$. Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. Si $f$ et $g$ admettent une fonction dérivée partielle par rapport la $i$-ème variable (resp. sont de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur $\mathcal{O}$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $\mathcal{O}$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable (resp. sont de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur $\mathcal{O}$ et on a :\\ $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)=\lambda\partial_{i}(f)+\mu\partial_{i}(g)$$$$\ds\partial_{i}(f\times g)=\partial_{i}(f)\times g+f\times\partial_{i}(g)$$$$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\partial_{i}(f)\times g-f\times\partial_{i}(g)}{g^{2}}$$$$\partial_{i}(\varphi\circ f)=\partial_{i}(f)\times\varphi'\circ f$$
+  * Lorsqu'il existe, le développement limité à l'ordre 1 de $f$ en un point de $\mathcal{O}$ est unique.
+  * Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ alors elle admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point de $\mathcal{O}$.
+  * Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ alors elle est continue sur $\mathcal{O}$.
+</box>
+__**Remarque**__
+L'existence d'un développement limité est plus contraignante que l'existence du gradient puisque dans le premier cas, on est assuré de la continuité alors que dans le second cas, on n'a aucune assurance.
+__**Exemples**__
+  - Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, $B$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et $c$ un réel. Pour ${}^t\!X=\begin{pmatrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{pmatrix}$, on pose :\\ $$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX+{}^t\!XB+c$$
+    - Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$.
+    - Montrer que :\\ $$f(X+H)-f(X)={}^tH(2AX+B+AH)$$
+    - En déduire que :\\ $$\nabla f(x_{1},\dots,x_{n})=2AX+B$$
+  - Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$.
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