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Somme de deux variables aléatoires à densité indépendantes

Théorème

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant respectivement $f$ et $g$ pour densité.

Pour tout réel $x$, les deux intégrales $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)g(x-t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x-u)g(u)\mathrm{d} u}$ sont de même nature. De plus, en cas de convergence, elles sont égales.
(admis) Sous réserve de convergence, on pose :
$$\ds\forall x\in\R,\; h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)g(x-t)\mathrm{d} t}=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x-u)g(u)\mathrm{d} u}$$Si $h$ est définie et continue sur $\R$ sauf éventuellement en un nombre fini de points (auquel cas, on choisit pour $h(x)$ une valeur positive arbitraire afin de définir la fonction $h$ sur $\R$) alors $h$ est une densité de la variable aléatoire $X+Y$.
Si $f$ ou $g$ est bornée sur $\R$ alors la fonction $h$ est définie et continue sur $\R$ donc est une densité de $X+Y$.

Définition : Produit de convolution ou loi de la somme

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant respectivement $f$ et $g$ pour densité. La fonction $h$ précédente est appelée produit de convolution des fonctions $f$ et $g$ et se note $h=f*g$.

Remarques

En cas d’utilisation du produit de convolution, la preuve de sa légitimité n’est pas exigible des candidats.
Bien noter l'analogie de ce théorème avec celui de la somme de deux variables aléatoires discrètes.

Exemples

Vérifier que $\ds f\colon x\mapsto1\!\!1_{[0,1]}(x)$ et $\ds g\colon x\mapsto\frac{1}{\pi(1+x^{2})}$ sont des densités de probabilité. Déterminer les fonctions $h=f*g$ puis $g_{2}=g*g$.
Soit $X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$ et $Y$ de densité donnée par $\ds g(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}$ si $t\in\left]0,1\right[$ et $g(t)=0$ sinon. On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Déterminer la loi de $X+Y$. Cette variable aléatoire admet-elle une espérance ?
3. Soit $X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$ indépendantes. Déterminer la loi de $X+Y$.

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