Comme $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ et comme $A\in\mathcal{O}$ est un point critique de $f$ alors le développement limité de $f$ à l'ordre 2 au voisinage de $A$ donne : $$\ds f(M)-f(A)=\frac{1}{2}q_{A}(\vv{AM})+\|\vv{AM}\|^{2}\varepsilon(M)$$ avec $\varepsilon(A)=0$ et $\varepsilon$ continue en $A$. On en déduit que, pour $M$ « assez proche » de $A$, le signe de $f(M)-f(A)$ est donc celui de $q_{A}(\vv{AM})$. Or, on sait que, en notant $\alpha=\min\left(\mathrm{Sp}(\nabla^{2}f(A))\right)$ et $\beta=\max\left(\mathrm{Sp}(\nabla^{2}f(A))\right)$, on a : $$\ds\forall\vv{x}\in\R^{n},\;\alpha\|\vv{x}\|^{2}\leqslant q_{A}(\vv{x})\leqslant\beta\|\vv{x}\|^{2}$$ et les égalités sont atteintes sur un vecteur propre associé à chacune de ces deux valeurs propres extrêmes. Le résultat annoncé découle immédiatement de cette double inégalité.