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Conditions d'existence d'un extremum local sur un ouvert

Condition nécessaire d'ordre 1

Définition

Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$. On dit qu'un point $A$ de $\mathcal{O}$ est un point critique de la fonction $f$ si et seulement si $\nabla f(A)=\vv{0}$.

Remarque

En un point critique $A$, toutes les dérivées directionnelles sont nulles et le développement limité à l'ordre 1 de $f$ en $A$ est :
$$\ds f(A+H)=f(A)+\|H\|\varepsilon(H)$$avec $\varepsilon(O)=0$ et $\varepsilon$ continue en $O$.

<html><a name=“condition_necessaire_d_existence_d_un_extremum”></a></html>

Théorème : Condition nécessaire d'existence

Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$. Si $f$ admet un extremum local en $A$ alors le point $A$ est un point critique de $f$.

Exemples

Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si $f$ y admet ou non un extremum local voire global.

  1. $\ds f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ pour $(x,y)\ne(0,0)$ et $f(0,0)=0$.
  2. $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
  3. $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}+x$
  4. $f(x,y)=x^{3}-3x^{2}y+4y^{2}$

Remarque

La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu'il existe des points critiques en lesquels la fonction n'admet pas d'extremum. Un tel point est appelé point col ou point selle.

Condition suffisante d'ordre 2

<html><a name=“condition_suffisante_d_existence_d_un_extremum”></a></html>

Théorème : Condition suffisante d'existence

On suppose que $A$ est un point critique de $f$, fonction de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ ouvert de $\R^{n}$.

  • Si $\nabla^{2}f(A)$ n'a que des valeurs propres strictement positives alors $f$ admet un minimum local en $A$.
  • Si $\nabla^{2}f(A)$ n'a que des valeurs propres strictement négatives alors $f$ admet un maximum local en $A$.
  • Si $\nabla^{2}f(A)$ a au moins une valeur propre strictement positive et au moins une valeur propre strictement négative alors $f$ admet un point selle en $A$.
  • Dans les autres cas (les valeurs propres sont de même signe et l'une est nulle), on ne peut rien conclure par cette méthode.

Exemples

  1. Déterminer les extrema locaux de $f(x,y,z)=xy+yz+zx+x+y+2z+1$ sur $\R^{3}$. Sont-il globaux ?
  2. Généralisation. Soit $M=(\alpha_{i,j})_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Pour tout $(x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n}$, on pose :
    $$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i,i}x_{i}^{2}}+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}{\alpha_{i,j}x_{i}x_{j}}+\sum_{i=1}^{n}{\beta_{i}x_{i}}+\gamma$$
    1. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\R^{n}$ et préciser $\nabla f(x_{1},\dots,x_{n})$ et $\nabla^{2}f(x_{1},\dots,x_{n})$.
    2. En déduire que $A=(a_{1},\dots,a_{n})$ est un point critique de $f$ si et seulement si :
      $$2M\begin{pmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{pmatrix}$$
    3. Soit $A$ un point critique de $f$. Montrer que, pour tout point $H$, on a :
      $$\ds f(A+H)-f(A)={}^t\!HMH$$
    4. Que peut-on dire lorsque les valeurs propres de la matrice $M$ sont toutes strictement positives (resp. strictement négatives) ? toutes positives et l'une est nulle (resp. négatives et l'une est nulle) ?
  3. Déterminer les extrema locaux et/ou globaux de la fonction $f$ définie sur $\R^{3}$ par :
    $$f(x,y,z)=x^{3}-3xyz$$.
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